Analyse Schwingender Systeme
Analyse Schwingender Systeme
Um Schwingungen in einer Struktur beruhigen zu können ist es erforderlich, das Schwingungsproblem genauer zu verstehen. Je nachdem wie und warum Schwingungen auftreten sind unterschiedliche Maßnahmen besser geeignet um die Schwingung zu mindern. Die Analyse des schwingenden Systems soll dazu beitragen, unterschiedliche Konzepte objektiv zu bewerten und optimale Lösungen zu finden.
Grundsätzlich sind Vibrationen Bewegungen der Struktur, also Ortsänderungen im Laufe der Zeit, die sich mehr oder weniger wiederholen und sich dabei um einen Mittelwert bewegen. Diese Eigenschaft von periodischen Schwingungsbewegungen kann man sich zunutze machen um Vibrationen nicht nur im Zeitbereich sondern auch im Frequenzbereich zu beschreiben. Die Darstellung im Frequenzbereich hat einige Vorteile, die dabei helfen können gute Lösungen für Schwingungsprobleme zu finden. Denn die Eigenschaften einer Struktur hängen eng mit dem Verhalten im Frequenzbereich zusammen – zum Beispiel ist die Periodendauer der Schwingung eines Fadenendes – näherungsweise – von der Länge des Pendels abhängig:
https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2rq.png
Man kann also die Länge des Pendels direkt aus der Eigenfrequenz ablesen, wenn man gerade kein Lineal aber wohl eine Stoppuhr-App zur Hand hat. Auch bei komplexen Strukturen lassen sich viele Eigenschaften wie Massen, Steifigkeiten und Dämpfungen im Frequenzbereich ablesen. Dazu müssen zunächst mal die Schwingungen in den Frequenzbereich transformiert werden. Anschließend können aus den Daten im Frequenzbereich zum Beispiel Spektren und Übertragungsfunktionen abgeleitet werden. Diese sind zum Beispiel interessant, um zu unterscheiden ob ein Schwingungsproblem eher durch eine Anregung oder durch die Eigenschaften der Struktur verursacht wird. Je nach dem kann man sich mit der Bekämpfung der Schwingung auf das eine oder andere konzentrieren. Man kann in Spektren außerdem erkennen, ob Probleme schmalbandig oder breitbandig sind.
Schmalbandige Schwingungen treten nur in der Nähe einer ganz bestimmten Frequenz auf, während breitbandige Probleme große Frequenzbereiche betreffen. Vergleicht man die Schwingung im zeitlichen Verlauf kann auch erkennen, ob die Frequenzen bei denen Schwingungen auftreten immer gleich sich oder sich mit der Zeit oder der Drehzahl verändern. Das sieht man besonders gut in einem Wasserfall- oder Campbell-Diagramm. Wenn man Übertragungsfunktionen einer Struktur ermittelt hat, dann kann man mit etwas Glück, Geschick und Algebra – oder mit zahlreichen OpenSource-Tools – auch ein Simulationsmodell der Struktur bilden. Den Prozess, aus gemessenen Daten die Eigenschaften eines zugrundeliegenden Systems zu bestimmen nennt man Systemidentifikation.
Transformation in den Frequenzbereich
Es gibt verschiedene Methoden um Messsignale in den Frequenzbereich oder andere sogenannte Bildbereiche zu transformieren. Dazu gehören zum Beispiel die Fouriertransformation, Laplacetransformation, Z-Transformation, diskrete Cosinustransformation und die diskrete Foureitransformation. Die Transformationen sind dabei Integralformeln, mit denen der Anteil jeder Frequenz – das Spektrum – des Signal berechnet wird. Für die Fourier-Transformation einer Funktion https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2ru.png zum Beispiel:
https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2ro.png
Die Fourier-Transformation funktioniert natürlich nur, wenn man die zu transformierende Funktion genau kennt – also unendlich lange und unendlich hoch aufgelöst. Für endliche, diskrete – also insbesondere gemessene – Signale verwendet man als diskrete Verfahren die Z-Transformation, diskrete Cosinustransformation oder die diskrete Foureitransformation. Besonders praktisch ist dabei die schnelle Fourietransformation (FFT), weil sie wie der Name schon sagt schnell ist und auf Messdaten – also endliche, diskrete Beobachtungen – angewendet werden kann. In vielen Tools für numerische Berechnung wie Scilab oder Numpy ist die FFT auch schon implementiert, so dass man sich das sparen kann. Man muss nur das Signal so messen, dass man den gewünschten Frequenzbereich später auch sehen kann. Wenn man ein Signal zwischen den Frequenzen https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2rv.png und https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2rw.png analysieren will, dann muss man für die Messdauer https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2rx.png und die Abtastrate https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2rz.png – also die Zeit zwischen jeweils zwei Messungen) die folgenden Grenzen einhalten (Nyquist-Shannon-Abtasttheorem):
