Analyse Schwingender Systeme - Versionsgeschichte

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	Eine weitere beliebte Methode, Strukturen numerisch zu beschreiben ist die [https://de.wikipedia.org/wiki/Finite-Elemente-Methode Finite Elemente Methode]. Dabei zerlegt man die Geometrie – die zum Beispiel in einem CAD-Programm erzeugt wurde – in viele kleine Stückchen (die finiten Elemente), für die man aufgrund von Materialgesetzen eine Bewegungsgleichung aufstellen kann und die man später zu durch Anwendung von Kopplungs- und Kontinuitätsbedingungen zu einem großen Gleichungssystem zusammen.		Eine weitere beliebte Methode, Strukturen numerisch zu beschreiben ist die [https://de.wikipedia.org/wiki/Finite-Elemente-Methode Finite Elemente Methode]. Dabei zerlegt man die Geometrie – die zum Beispiel in einem CAD-Programm erzeugt wurde – in viele kleine Stückchen (die finiten Elemente), für die man aufgrund von Materialgesetzen eine Bewegungsgleichung aufstellen kann und die man später zu durch Anwendung von Kopplungs- und Kontinuitätsbedingungen zu einem großen Gleichungssystem zusammen.

−	~~#WEITERLEITUNG~~ [[~~Adaptronik~~]]	+	[[Hauptseite\|Zurück zur Hauptseite]]

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 ==Der Begriff der Strukturdynamik ==
 Die Strukturdynamik untersucht die [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%9Cbertragungsfunktion%20 Antwort] von [https://de.wikipedia.org/wiki/System Strukturen] auf dynamische, also zeitlich veränderliche, [https://de.wikipedia.org/wiki/Belastung_%28Physik%29 Lasten]. Die Strukturen können dabei rein [https://de.wikipedia.org/wiki/Mechanik mechanische] Strukturen oder multiphysikalisch, zum Beispiel elektromechanisch, sein. Lasten sind die auf die Struktur einwikenden Einflüsse wie [https://de.wikipedia.org/wiki/Kraft%20 Kräfte], Drücke oder auch elektrische Spannungen an elektromechanischen Strukturen. Die Antwort der Struktur sind zum Beispiel resultierende Verformungen oder Dehnungen. Das Antwortverhalten einer Struktur kann experimentell durch Frequenzganganalyse oder [https://de.wikipedia.org/wiki/Modalanalyse Modalanalysen] oder durch numerische Analysen zum Beispiel an [https://de.wikipedia.org/wiki/Mehrk%C3%B6rpersimulation diskreten Merhkörpermodellen] oder diskretisierten [https://de.wikipedia.org/wiki/Finite-Elemente-Methode Finite-Elemente-Modellen] kontinuierlicher Strukturen ermittelt werden. Das Antwortverhalten der Struktur kann Ausganspunkt für Festigkeits- und Lebensdauerbetrachtungen, Kompfortbetrachtungen oder Strukturoptimierungen sein.
 Sind die Lasten in hinblick auf die resultierende Anregung des Systems klein, so liegt häufig ein - zumindest annähernd - [https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung linearer] Zusammenhang zwischen Last und Antwort vor, so dass von linear-elastischen Systemen geprochen werden kann. Solche Systeme lassen sich vorteilhaft im [https://de.wikipedia.org/wiki/Fourier-Analysis#Anwendungen Frequenzbereich] untersuchen, das Antwortverhalten wird dann durch die Übertragungsfunktion im Frequenzbereich beschrieben.
 == Analyse Schwingender Systeme ==

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−	==== Strukturdynamik ====	+	==Der Begriff der Strukturdynamik ==
	Die Strukturdynamik untersucht die [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%9Cbertragungsfunktion%20 Antwort] von [https://de.wikipedia.org/wiki/System Strukturen] auf dynamische, also zeitlich veränderliche, [https://de.wikipedia.org/wiki/Belastung_%28Physik%29 Lasten]. Die Strukturen können dabei rein [https://de.wikipedia.org/wiki/Mechanik mechanische] Strukturen oder multiphysikalisch, zum Beispiel elektromechanisch, sein. Lasten sind die auf die Struktur einwikenden Einflüsse wie [https://de.wikipedia.org/wiki/Kraft%20 Kräfte], Drücke oder auch elektrische Spannungen an elektromechanischen Strukturen. Die Antwort der Struktur sind zum Beispiel resultierende Verformungen oder Dehnungen. Das Antwortverhalten einer Struktur kann experimentell durch Frequenzganganalyse oder [https://de.wikipedia.org/wiki/Modalanalyse Modalanalysen] oder durch numerische Analysen zum Beispiel an [https://de.wikipedia.org/wiki/Mehrk%C3%B6rpersimulation diskreten Merhkörpermodellen] oder diskretisierten [https://de.wikipedia.org/wiki/Finite-Elemente-Methode Finite-Elemente-Modellen] kontinuierlicher Strukturen ermittelt werden. Das Antwortverhalten der Struktur kann Ausganspunkt für Festigkeits- und Lebensdauerbetrachtungen, Kompfortbetrachtungen oder Strukturoptimierungen sein.		Die Strukturdynamik untersucht die [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%9Cbertragungsfunktion%20 Antwort] von [https://de.wikipedia.org/wiki/System Strukturen] auf dynamische, also zeitlich veränderliche, [https://de.wikipedia.org/wiki/Belastung_%28Physik%29 Lasten]. Die Strukturen können dabei rein [https://de.wikipedia.org/wiki/Mechanik mechanische] Strukturen oder multiphysikalisch, zum Beispiel elektromechanisch, sein. Lasten sind die auf die Struktur einwikenden Einflüsse wie [https://de.wikipedia.org/wiki/Kraft%20 Kräfte], Drücke oder auch elektrische Spannungen an elektromechanischen Strukturen. Die Antwort der Struktur sind zum Beispiel resultierende Verformungen oder Dehnungen. Das Antwortverhalten einer Struktur kann experimentell durch Frequenzganganalyse oder [https://de.wikipedia.org/wiki/Modalanalyse Modalanalysen] oder durch numerische Analysen zum Beispiel an [https://de.wikipedia.org/wiki/Mehrk%C3%B6rpersimulation diskreten Merhkörpermodellen] oder diskretisierten [https://de.wikipedia.org/wiki/Finite-Elemente-Methode Finite-Elemente-Modellen] kontinuierlicher Strukturen ermittelt werden. Das Antwortverhalten der Struktur kann Ausganspunkt für Festigkeits- und Lebensdauerbetrachtungen, Kompfortbetrachtungen oder Strukturoptimierungen sein.

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		+	==== Strukturdynamik ====
		+	Die Strukturdynamik untersucht die [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%9Cbertragungsfunktion%20 Antwort] von [https://de.wikipedia.org/wiki/System Strukturen] auf dynamische, also zeitlich veränderliche, [https://de.wikipedia.org/wiki/Belastung_%28Physik%29 Lasten]. Die Strukturen können dabei rein [https://de.wikipedia.org/wiki/Mechanik mechanische] Strukturen oder multiphysikalisch, zum Beispiel elektromechanisch, sein. Lasten sind die auf die Struktur einwikenden Einflüsse wie [https://de.wikipedia.org/wiki/Kraft%20 Kräfte], Drücke oder auch elektrische Spannungen an elektromechanischen Strukturen. Die Antwort der Struktur sind zum Beispiel resultierende Verformungen oder Dehnungen. Das Antwortverhalten einer Struktur kann experimentell durch Frequenzganganalyse oder [https://de.wikipedia.org/wiki/Modalanalyse Modalanalysen] oder durch numerische Analysen zum Beispiel an [https://de.wikipedia.org/wiki/Mehrk%C3%B6rpersimulation diskreten Merhkörpermodellen] oder diskretisierten [https://de.wikipedia.org/wiki/Finite-Elemente-Methode Finite-Elemente-Modellen] kontinuierlicher Strukturen ermittelt werden. Das Antwortverhalten der Struktur kann Ausganspunkt für Festigkeits- und Lebensdauerbetrachtungen, Kompfortbetrachtungen oder Strukturoptimierungen sein.
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		+	Sind die Lasten in hinblick auf die resultierende Anregung des Systems klein, so liegt häufig ein - zumindest annähernd - [https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung linearer] Zusammenhang zwischen Last und Antwort vor, so dass von linear-elastischen Systemen geprochen werden kann. Solche Systeme lassen sich vorteilhaft im [https://de.wikipedia.org/wiki/Fourier-Analysis#Anwendungen Frequenzbereich] untersuchen, das Antwortverhalten wird dann durch die Übertragungsfunktion im Frequenzbereich beschrieben.
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	== Analyse Schwingender Systeme ==		== Analyse Schwingender Systeme ==
	Um [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingung Schwingungen] in einer Struktur beruhigen zu können ist es erforderlich, das Schwingungsproblem genauer zu verstehen. Je nachdem wie und warum Schwingungen auftreten sind unterschiedliche Maßnahmen besser geeignet um die Schwingung zu mindern. Die Analyse des schwingenden Systems soll dazu beitragen, unterschiedliche Konzepte objektiv zu bewerten und optimale Lösungen zu finden.		Um [https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingung Schwingungen] in einer Struktur beruhigen zu können ist es erforderlich, das Schwingungsproblem genauer zu verstehen. Je nachdem wie und warum Schwingungen auftreten sind unterschiedliche Maßnahmen besser geeignet um die Schwingung zu mindern. Die Analyse des schwingenden Systems soll dazu beitragen, unterschiedliche Konzepte objektiv zu bewerten und optimale Lösungen zu finden.

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	Eine weitere beliebte Methode, Strukturen numerisch zu beschreiben ist die [https://de.wikipedia.org/wiki/Finite-Elemente-Methode Finite Elemente Methode]. Dabei zerlegt man die Geometrie – die zum Beispiel in einem CAD-Programm erzeugt wurde – in viele kleine Stückchen (die finiten Elemente), für die man aufgrund von Materialgesetzen eine Bewegungsgleichung aufstellen kann und die man später zu durch Anwendung von Kopplungs- und Kontinuitätsbedingungen zu einem großen Gleichungssystem zusammen.		Eine weitere beliebte Methode, Strukturen numerisch zu beschreiben ist die [https://de.wikipedia.org/wiki/Finite-Elemente-Methode Finite Elemente Methode]. Dabei zerlegt man die Geometrie – die zum Beispiel in einem CAD-Programm erzeugt wurde – in viele kleine Stückchen (die finiten Elemente), für die man aufgrund von Materialgesetzen eine Bewegungsgleichung aufstellen kann und die man später zu durch Anwendung von Kopplungs- und Kontinuitätsbedingungen zu einem großen Gleichungssystem zusammen.

−	#WEITERLEITUNG [[~~Technologie~~]]	+	#WEITERLEITUNG [[Adaptronik]]

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	Eine weitere beliebte Methode, Strukturen numerisch zu beschreiben ist die [https://de.wikipedia.org/wiki/Finite-Elemente-Methode Finite Elemente Methode]. Dabei zerlegt man die Geometrie – die zum Beispiel in einem CAD-Programm erzeugt wurde – in viele kleine Stückchen (die finiten Elemente), für die man aufgrund von Materialgesetzen eine Bewegungsgleichung aufstellen kann und die man später zu durch Anwendung von Kopplungs- und Kontinuitätsbedingungen zu einem großen Gleichungssystem zusammen.		Eine weitere beliebte Methode, Strukturen numerisch zu beschreiben ist die [https://de.wikipedia.org/wiki/Finite-Elemente-Methode Finite Elemente Methode]. Dabei zerlegt man die Geometrie – die zum Beispiel in einem CAD-Programm erzeugt wurde – in viele kleine Stückchen (die finiten Elemente), für die man aufgrund von Materialgesetzen eine Bewegungsgleichung aufstellen kann und die man später zu durch Anwendung von Kopplungs- und Kontinuitätsbedingungen zu einem großen Gleichungssystem zusammen.
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 https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2rq.png
-Man kann also die Länge des Pendels direkt aus der Eigenfrequenz ablesen, wenn man gerade kein Lineal aber wohl eine Stoppuhr-App zur Hand hat. Auch bei komplexen Strukturen lassen sich viele Eigenschaften wie [https://de.wikipedia.org/wiki/Masse_(Physik) Massen], [https://de.wikipedia.org/wiki/Steifigkeit Steifigkeiten] und [https://de.wikipedia.org/wiki/D%C3%A4mpfung Dämpfungen] im Frequenzbereich ablesen. Dazu müssen zunächst mal die Schwingungen in den Frequenzbereich transformiert werden. Anschließend können aus den Daten im Frequenzbereich zum Beispiel [https://de.wikipedia.org/wiki/Frequenzspektrum Spektren] und [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%9Cbertragungsfunktion Übertragungsfunktionen] abgeleitet werden. Diese sind zum Beispiel interessant, um zu unterscheiden ob ein Schwingungsproblem eher durch eine Anregung oder durch die Eigenschaften der Struktur verursacht wird. Je nach dem kann man sich mit der Bekämpfung der Schwingung auf das eine oder andere konzentrieren. Man kann in Spektren außerdem erkennen, ob Probleme schmalbandig oder breitbandig sind.
+Man kann also die Länge des Pendels direkt aus der Eigenfrequenz ablesen, wenn man gerade kein Lineal aber wohl eine Stoppuhr-App zur Hand hat. Auch bei komplexen Strukturen lassen sich viele Eigenschaften wie [https://de.wikipedia.org/wiki/Masse_(Physik) Massen], [https://de.wikipedia.org/wiki/Steifigkeit Steifigkeiten] und [https://de.wikipedia.org/wiki/D%C3%A4mpfung Dämpfungen] im Frequenzbereich ablesen. Dazu müssen zunächst mal die Schwingungen in den Frequenzbereich transformiert werden. Anschließend können aus den Daten im Frequenzbereich zum Beispiel [https://de.wikipedia.org/wiki/Frequenzspektrum Spektren] und [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%9Cbertragungsfunktion Übertragungsfunktionen] abgeleitet werden. Diese sind zum Beispiel interessant, um zu unterscheiden ob ein Schwingungsproblem eher durch eine Anregung oder durch die Eigenschaften der Struktur verursacht wird. Je nach dem kann man sich mit der Bekämpfung der Schwingung auf das eine oder andere konzentrieren. Man kann in Spektren außerdem erkennen, ob Probleme [https://de.wikipedia.org/wiki/Schmalbandrauschen schmalbandig] oder breitbandig sind.
 Schmalbandige Schwingungen treten nur in der Nähe einer ganz bestimmten Frequenz auf, während breitbandige Probleme große Frequenzbereiche betreffen. Vergleicht man die Schwingung im zeitlichen Verlauf kann auch erkennen, ob die Frequenzen bei denen Schwingungen auftreten immer gleich sich oder sich mit der Zeit oder der Drehzahl verändern. Das sieht man besonders gut in einem Wasserfall- oder Campbell-Diagramm. Wenn man Übertragungsfunktionen einer Struktur ermittelt hat, dann kann man mit etwas Glück, Geschick und Algebra – oder mit zahlreichen OpenSource-Tools – auch ein Simulationsmodell der Struktur bilden. Den Prozess, aus gemessenen Daten die Eigenschaften eines zugrundeliegenden Systems zu bestimmen nennt man Systemidentifikation.
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 == Transformation in den Frequenzbereich ==
-Es gibt verschiedene Methoden um Messsignale in den Frequenzbereich oder andere sogenannte Bildbereiche zu transformieren. Dazu gehören zum Beispiel die Fouriertransformation, Laplacetransformation, Z-Transformation, diskrete Cosinustransformation und die diskrete Foureitransformation. Die Transformationen sind dabei Integralformeln, mit denen der Anteil jeder Frequenz – das Spektrum – des  Signal berechnet wird. Für die Fourier-Transformation einer Funktion https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2ru.png zum Beispiel:
+Es gibt verschiedene Methoden um Messsignale in den Frequenzbereich oder andere sogenannte Bildbereiche zu transformieren. Dazu gehören zum Beispiel die [https://de.wikipedia.org/wiki/Fourier-Transformation Fouriertransformation], [https://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Transformation Laplacetransformation], [https://de.wikipedia.org/wiki/Z-Transformation Z-Transformation], [https://de.wikipedia.org/wiki/Diskrete_Kosinustransformation diskrete Cosinustransformation] und die [https://de.wikipedia.org/wiki/Diskrete_Fourier-Transformation diskrete Foureitransformation]. Die Transformationen sind dabei Integralformeln, mit denen der Anteil jeder Frequenz – [https://de.wikipedia.org/wiki/Frequenzspektrum das Spektrum] – des  Signal berechnet wird. Für die Fourier-Transformation einer Funktion https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2ru.png zum Beispiel:
 https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2ro.png
-Die Fourier-Transformation funktioniert natürlich nur, wenn man die zu transformierende Funktion genau kennt – also unendlich lange und unendlich hoch aufgelöst. Für endliche, diskrete – also insbesondere gemessene – Signale verwendet man als diskrete Verfahren die  Z-Transformation, diskrete Cosinustransformation oder die diskrete Foureitransformation. Besonders praktisch ist dabei die schnelle Fourietransformation (FFT), weil sie wie der Name schon sagt schnell ist und auf Messdaten – also endliche, diskrete Beobachtungen – angewendet werden kann. In vielen Tools für numerische Berechnung wie Scilab oder Numpy ist die FFT auch schon implementiert, so dass man sich das sparen kann. Man muss nur das Signal so messen, dass man den gewünschten Frequenzbereich später auch sehen kann. Wenn man ein Signal zwischen den Frequenzen https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2rv.png und https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2rw.png analysieren will, dann muss man für die Messdauer https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2rx.png und die Abtastrate https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2rz.png – also die Zeit zwischen jeweils zwei Messungen) die folgenden Grenzen einhalten (Nyquist-Shannon-Abtasttheorem):
+Die Fourier-Transformation funktioniert natürlich nur, wenn man die zu transformierende Funktion genau kennt – also unendlich lange und unendlich hoch aufgelöst. Für endliche, diskrete – also insbesondere gemessene – Signale verwendet man als diskrete Verfahren die  Z-Transformation, diskrete Cosinustransformation oder die diskrete Foureitransformation. Besonders praktisch ist dabei die [https://de.wikipedia.org/wiki/Schnelle_Fourier-Transformation schnelle Fourietransformation] (FFT), weil sie wie der Name schon sagt schnell ist und auf Messdaten – also endliche, diskrete Beobachtungen – angewendet werden kann. In vielen Tools für numerische Berechnung wie [https://de.wikipedia.org/wiki/Scilab Scilab] oder [https://de.wikipedia.org/wiki/NumPy Numpy] ist die FFT auch schon implementiert, so dass man sich das sparen kann. Man muss nur das Signal so messen, dass man den gewünschten Frequenzbereich später auch sehen kann. Wenn man ein Signal zwischen den Frequenzen https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2rv.png und https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2rw.png analysieren will, dann muss man für die Messdauer https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2rx.png und die Abtastrate https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2rz.png – also die Zeit zwischen jeweils zwei Messungen) die folgenden Grenzen einhalten ([https://de.wikipedia.org/wiki/Nyquist-Shannon-Abtasttheorem Nyquist-Shannon-Abtasttheorem]):
 https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2r7.png
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 == Transferfunktion ==
-Oft möchte man die Eigenschaften eines Systems oder einer Struktur unabhängig von einer bestimmten Anregung betrachten. Die Struktur wird dabei durch eine Übertragungsfunktion beschrieben die grob gesprochen beschreibt, wie das System auf Anregungen reagiert. Meistens sind dies mehr oder weniger komplexe Differentialgleichungen. Viele Systeme lassen sich zumindest für kleine Auslenkungen aber schon durch lineare, zeitinvariante Differentialgleichungen gut beschreiben. Ein System mit dem Eingangssignal u, dem Zustandsvektor x und der Ausgangsgröße y wird dann durch diese einfachen Gleichungen beschrieben:
+Oft möchte man die Eigenschaften eines Systems oder einer Struktur unabhängig von einer bestimmten Anregung betrachten. Die Struktur wird dabei durch eine [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%9Cbertragungsfunktion Übertragungsfunktion] beschrieben die grob gesprochen beschreibt, wie das System auf Anregungen reagiert. Meistens sind dies mehr oder weniger komplexe Differentialgleichungen. Viele Systeme lassen sich zumindest für kleine Auslenkungen aber schon durch [https://de.wikipedia.org/wiki/Lineares_zeitinvariantes_System lineare, zeitinvariante Differentialgleichungen] gut beschreiben. Ein System mit dem Eingangssignal u, dem Zustandsvektor x und der Ausgangsgröße y wird dann durch diese einfachen Gleichungen beschrieben:
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 https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2qg.png
-Für unseren Einmassenschwinger sieht das Ganze dann so aus:
+Für unseren [https://de.wikipedia.org/wiki/Eigenfrequenz#Einmassenschwinger_(SDOF) Einmassenschwinger] sieht das Ganze dann so aus:
 https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2qf.png
-Man sieht also wiederum eine rationale Funktion, die in Abhängigkeit von der Frequnez ω  und der Parameter k,d und m unser System beschreibt. Man kann die Übertragungsfunktion aber genau so auch messen, indem man die Anregunskraft und die Bewegung misst und dann beide Signale mit einer FFT in den Frequenzbereich transformiert und die Transformierte Bewegung durch die Transformierte Kraft teilt. Die empirische Übertragungsfunktion https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2se.png ist dann:
+Man sieht also wiederum eine rationale Funktion, die in Abhängigkeit von der Frequnez ω  und der Parameter k,d und m unser System beschreibt. Man kann die Übertragungsfunktion aber genauso auch messen, indem man die Anregunskraft und die Bewegung misst und dann beide Signale mit einer FFT in den Frequenzbereich transformiert und die Transformierte Bewegung durch die Transformierte Kraft teilt. Die empirische Übertragungsfunktion https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2se.png ist dann:
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 == Amplitudenspektrum ==
-Betrachtet man im Frequenzbereich nur die Absolutwerte und nicht das komplexe Argument, dann spricht man auch vom Amplitudenspektrum eines Signals. Das Spektrum gibt an, wie sich die Amplitude, die Energie oder die Leistung eines Signals im Frequenzbereich verteilt. Sehr aufschlussreich ist dabei oft, das Leistungsdichtespektrum zu betrachten. Es gibt unterschiedliche Methoden das Leistungsdichtespektrum eines Signals zu berechnen, zum Beispiel das Periodogramm. Wenn man das Leistungsdichtespektrum eins Eingangssignals https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j38l.png
+Betrachtet man im Frequenzbereich nur die Absolutwerte und nicht das komplexe Argument, dann spricht man auch vom Amplitudenspektrum eines Signals. Das Spektrum gibt an, wie sich die Amplitude, die Energie oder die Leistung eines Signals im Frequenzbereich verteilt. Sehr aufschlussreich ist dabei oft, das [https://de.wikipedia.org/wiki/Spektrale_Leistungsdichte Leistungsdichtespektrum] zu betrachten. Es gibt unterschiedliche Methoden das Leistungsdichtespektrum eines Signals zu berechnen, zum Beispiel das [https://de.wikipedia.org/wiki/Periodogramm Periodogramm]. Wenn man das Leistungsdichtespektrum eins Eingangssignals https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j38l.png
 und die Transferfunktion eines linearen, zeitinvarianten Systems https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j38o.png kennt, kann man das Leistungsdichtespektrum des Ausgangssignals mit der Formel
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 == Welch's Methode ==
-Egal wie gut und genau man misst, ein gemessenes Signal enthält immer auch Störungen. Tatsächlich ist es sogar ein physikalisches Gesetz, dass man nie wirklich exakt messen kann. Man spricht hier von einem stochastischen Anteil im Gegensatz zum sogenannten deterministischen Anteil, den man eigentlich messen wollen würde.  Man kann sich aber zunutze machen, dass der deterministische Anteil immer gleich aussehen sollte und der stochastische Anteil – wie der Name eigentlich schon sagt – zufällig ist. Wenn man also das gemessene Signal in kleines Abschnitte zerlegt, für jeden Abschnitt einzeln ein Spektrum bestimmt und dann über die Spektren mittelt, dann gleichen sich die stochastischen Anteile aus und die deterministischen Anteile bleiben übrig. Dieses Verfahren um einigermaßen saubere Spektren zu bestimmen nennt man Welch’s Methode.
+Egal wie gut und genau man misst, ein gemessenes Signal enthält immer auch Störungen. Tatsächlich ist es sogar ein [https://de.wikipedia.org/wiki/Heisenbergsche_Unsch%C3%A4rferelation physikalisches Gesetz], dass man nie wirklich exakt messen kann. Man spricht hier von einem stochastischen Anteil im Gegensatz zum sogenannten deterministischen Anteil, den man eigentlich messen wollen würde.  Man kann sich aber zunutze machen, dass der deterministische Anteil immer gleich aussehen sollte und der stochastische Anteil – wie der Name eigentlich schon sagt – zufällig ist. Wenn man also das gemessene Signal in kleines Abschnitte zerlegt, für jeden Abschnitt einzeln ein Spektrum bestimmt und dann über die Spektren mittelt, dann gleichen sich die stochastischen Anteile aus und die deterministischen Anteile bleiben übrig. Dieses Verfahren um einigermaßen saubere Spektren zu bestimmen nennt man [https://en.wikipedia.org/wiki/Welch%27s_method Welch’s Methode].
 == Wasserfalldiagramm ==
-Oft möchte man beobachten, wie sich ein Spektrum im Laufe der Zeit ändert, zum Beispiel beim Einschalten oder wenn man die Drehzahl eines Motors ändert. Hierzu ist ein Wasserfalldiagramm sehr nützlich. Im Wasserfalldiagramm werden sozusagen die Spektren für aufeinanderfolgende Zeitabschnitte nebeneinander dargestellt. Je nachdem, aus welcher Richtung man das betrachtet, sieht das Ergebnis aus wie ein Wasserfall.
+Oft möchte man beobachten, wie sich ein Spektrum im Laufe der Zeit ändert, zum Beispiel beim Einschalten oder wenn man die Drehzahl eines Motors ändert. Hierzu ist ein [https://en.wikipedia.org/wiki/Waterfall_plot Wasserfalldiagramm] sehr nützlich. Im Wasserfalldiagramm werden sozusagen die Spektren für aufeinanderfolgende Zeitabschnitte nebeneinander dargestellt. Je nachdem, aus welcher Richtung man das betrachtet, sieht das Ergebnis aus wie ein Wasserfall.
 == Identifikation ==
-Wenn man ein System nachbilden will muss man aus Messdaten die Parameter eines Modells bestimmen. Diesen Prozess nennt man Identifikation. Es gibt verschiedene Verfahren um zum Beispiel digitale Filter wie FIR-Filter oder IIR-Filter zu identifizieren um einen Prozess nachzubilden. Man kann aber auch physikalische Systeme identifizieren. Zum Beispiel kann man an einer gemessenen Übertragungsfunktion die Masse, Steifigkeit und Dämpfung eines Einmassenschwingers ablesen indem man die Lage, Höhe und Breite der Überhöhung bestimmt. Es gibt auch eine elegante, mathematische Lösung auf Basis der bekannten kleinste Quadrate Methode. Wenn man die Abweichung der analytischen Funktion https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j38x.png von oben von einer an mehr als drei Freuqenzen https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j38z.png gemessenen Funktion https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j390.png aufschreibt bekommt man ein überbestimmtes Gleichungssystem für das man eine kleinste Quadrate Lösung ausrechnen kann:
+Wenn man ein System nachbilden will muss man aus Messdaten die Parameter eines Modells bestimmen. Diesen Prozess nennt man [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemidentifikation Identifikation]. Es gibt verschiedene Verfahren um zum Beispiel [https://de.wikipedia.org/wiki/Digitales_Filter digitale Filter] wie [https://de.wikipedia.org/wiki/Filter_mit_endlicher_Impulsantwort FIR-Filter] oder [https://de.wikipedia.org/wiki/Filter_mit_unendlicher_Impulsantwort IIR-Filter] zu identifizieren um einen Prozess nachzubilden. Man kann aber auch physikalische Systeme identifizieren. Zum Beispiel kann man an einer gemessenen Übertragungsfunktion die Masse, Steifigkeit und Dämpfung eines Einmassenschwingers ablesen indem man die Lage, Höhe und Breite der Überhöhung bestimmt. Es gibt auch eine elegante, mathematische Lösung auf Basis der bekannten [https://de.wikipedia.org/wiki/Methode_der_kleinsten_Quadrate kleinste Quadrate Methode]. Wenn man die Abweichung der analytischen Funktion https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j38x.png von oben von einer an mehr als drei Freuqenzen https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j38z.png gemessenen Funktion https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j390.png aufschreibt bekommt man ein überbestimmtes Gleichungssystem für das man eine kleinste Quadrate Lösung ausrechnen kann:
 Mit
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 https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/ivtd.png
-Es gibt auch Verfahren, um Systeme mit mehreren Freiheitsgraden anhand ihrer Eigenschwingung zu charakterisieren. Dabei spricht man von modaler Identifikation oder Modalanalyse.
+Es gibt auch Verfahren, um Systeme mit mehreren Freiheitsgraden anhand ihrer Eigenschwingung zu charakterisieren. Dabei spricht man von [https://de.wikipedia.org/wiki/Modalanalyse modaler Identifikation oder Modalanalyse].
 == Finite Elemente Methode ==
-Eine weitere beliebte Methode, Strukturen numerisch zu beschreiben ist die Finite Elemente Methode. Dabei zerlegt man die Geometrie – die zum Beispiel in einem CAD-Programm erzeugt wurde – in viele kleine Stückchen (die finiten Elemente), für die man aufgrund von Materialgesetzen eine Bewegungsgleichung aufstellen kann und die man später zu durch Anwendung von Kopplungs- und Kontinuitätsbedingungen zu einem großen Gleichungssystem zusammen.
+Eine weitere beliebte Methode, Strukturen numerisch zu beschreiben ist die [https://de.wikipedia.org/wiki/Finite-Elemente-Methode Finite Elemente Methode]. Dabei zerlegt man die Geometrie – die zum Beispiel in einem CAD-Programm erzeugt wurde – in viele kleine Stückchen (die finiten Elemente), für die man aufgrund von Materialgesetzen eine Bewegungsgleichung aufstellen kann und die man später zu durch Anwendung von Kopplungs- und Kontinuitätsbedingungen zu einem großen Gleichungssystem zusammen.

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	https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2pi.png		https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2pi.png
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		+	== Amplitudenspektrum ==
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		+	Betrachtet man im Frequenzbereich nur die Absolutwerte und nicht das komplexe Argument, dann spricht man auch vom Amplitudenspektrum eines Signals. Das Spektrum gibt an, wie sich die Amplitude, die Energie oder die Leistung eines Signals im Frequenzbereich verteilt. Sehr aufschlussreich ist dabei oft, das Leistungsdichtespektrum zu betrachten. Es gibt unterschiedliche Methoden das Leistungsdichtespektrum eines Signals zu berechnen, zum Beispiel das Periodogramm. Wenn man das Leistungsdichtespektrum eins Eingangssignals https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j38l.png
		+	und die Transferfunktion eines linearen, zeitinvarianten Systems https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j38o.png kennt, kann man das Leistungsdichtespektrum des Ausgangssignals mit der Formel
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		+	https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/ivuf.png
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		+	bestimmen. Interessant ist daran vor allem, dass man die Formel aber auch umstellen und anhand eines gemessenen Ausganssignals eines Systems die Anregung bestimmen kann, die man oft nicht direkt messen kann.
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		+	== Welch's Methode ==
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		+	Egal wie gut und genau man misst, ein gemessenes Signal enthält immer auch Störungen. Tatsächlich ist es sogar ein physikalisches Gesetz, dass man nie wirklich exakt messen kann. Man spricht hier von einem stochastischen Anteil im Gegensatz zum sogenannten deterministischen Anteil, den man eigentlich messen wollen würde. Man kann sich aber zunutze machen, dass der deterministische Anteil immer gleich aussehen sollte und der stochastische Anteil – wie der Name eigentlich schon sagt – zufällig ist. Wenn man also das gemessene Signal in kleines Abschnitte zerlegt, für jeden Abschnitt einzeln ein Spektrum bestimmt und dann über die Spektren mittelt, dann gleichen sich die stochastischen Anteile aus und die deterministischen Anteile bleiben übrig. Dieses Verfahren um einigermaßen saubere Spektren zu bestimmen nennt man Welch’s Methode.
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		+	== Wasserfalldiagramm ==
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		+	Oft möchte man beobachten, wie sich ein Spektrum im Laufe der Zeit ändert, zum Beispiel beim Einschalten oder wenn man die Drehzahl eines Motors ändert. Hierzu ist ein Wasserfalldiagramm sehr nützlich. Im Wasserfalldiagramm werden sozusagen die Spektren für aufeinanderfolgende Zeitabschnitte nebeneinander dargestellt. Je nachdem, aus welcher Richtung man das betrachtet, sieht das Ergebnis aus wie ein Wasserfall.
		+
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		+	== Identifikation ==
		+
		+	Wenn man ein System nachbilden will muss man aus Messdaten die Parameter eines Modells bestimmen. Diesen Prozess nennt man Identifikation. Es gibt verschiedene Verfahren um zum Beispiel digitale Filter wie FIR-Filter oder IIR-Filter zu identifizieren um einen Prozess nachzubilden. Man kann aber auch physikalische Systeme identifizieren. Zum Beispiel kann man an einer gemessenen Übertragungsfunktion die Masse, Steifigkeit und Dämpfung eines Einmassenschwingers ablesen indem man die Lage, Höhe und Breite der Überhöhung bestimmt. Es gibt auch eine elegante, mathematische Lösung auf Basis der bekannten kleinste Quadrate Methode. Wenn man die Abweichung der analytischen Funktion https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j38x.png von oben von einer an mehr als drei Freuqenzen https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j38z.png gemessenen Funktion https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j390.png aufschreibt bekommt man ein überbestimmtes Gleichungssystem für das man eine kleinste Quadrate Lösung ausrechnen kann:
		+
		+	Mit
		+
		+	https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/ivte.png
		+
		+	und
		+
		+	https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j392.png
		+
		+	kann man nämlich aus der Fehlerfunktion e ein kleinste Quadrate Problem, also eine überbestimmtes lineares Gleichungssystem der Form Ax=B machen:
		+
		+	https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/ivsx.png
		+
		+	Das Gleichungssystem mit den drei unbekannten m,d und k und N Gleichungen sieht dann wie folgt aus und kann mit einem Computer sehr leicht gelöst werden:
		+
		+
		+	https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/ivtd.png
		+
		+	Es gibt auch Verfahren, um Systeme mit mehreren Freiheitsgraden anhand ihrer Eigenschwingung zu charakterisieren. Dabei spricht man von modaler Identifikation oder Modalanalyse.
		+
		+	== Finite Elemente Methode ==
		+
		+	Eine weitere beliebte Methode, Strukturen numerisch zu beschreiben ist die Finite Elemente Methode. Dabei zerlegt man die Geometrie – die zum Beispiel in einem CAD-Programm erzeugt wurde – in viele kleine Stückchen (die finiten Elemente), für die man aufgrund von Materialgesetzen eine Bewegungsgleichung aufstellen kann und die man später zu durch Anwendung von Kopplungs- und Kontinuitätsbedingungen zu einem großen Gleichungssystem zusammen.

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	Oft möchte man die Eigenschaften eines Systems oder einer Struktur unabhängig von einer bestimmten Anregung betrachten. Die Struktur wird dabei durch eine Übertragungsfunktion beschrieben die grob gesprochen beschreibt, wie das System auf Anregungen reagiert. Meistens sind dies mehr oder weniger komplexe Differentialgleichungen. Viele Systeme lassen sich zumindest für kleine Auslenkungen aber schon durch lineare, zeitinvariante Differentialgleichungen gut beschreiben. Ein System mit dem Eingangssignal u, dem Zustandsvektor x und der Ausgangsgröße y wird dann durch diese einfachen Gleichungen beschrieben:		Oft möchte man die Eigenschaften eines Systems oder einer Struktur unabhängig von einer bestimmten Anregung betrachten. Die Struktur wird dabei durch eine Übertragungsfunktion beschrieben die grob gesprochen beschreibt, wie das System auf Anregungen reagiert. Meistens sind dies mehr oder weniger komplexe Differentialgleichungen. Viele Systeme lassen sich zumindest für kleine Auslenkungen aber schon durch lineare, zeitinvariante Differentialgleichungen gut beschreiben. Ein System mit dem Eingangssignal u, dem Zustandsvektor x und der Ausgangsgröße y wird dann durch diese einfachen Gleichungen beschrieben:
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		+	https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2s9.png
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		+	https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2sd.png
		+
		+	Dabei heißen die Matrix B auch Steuermatrix und die Matrix C Beobachtungsmatrix. Zum Beispiel eine Masse m mit einer Federkonstante k und der Dämpfung d mit die der kraft F angeregt führt eine erzwungene Schwingung aus. Für diese gilt die Bewegungsgleichung:
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		+	https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2qm.png
		+
		+	https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2sc.png
		+
		+
		+	Eine schöne Eigenschaft solcher linear-zeitinvarianter Systeme ist, dass ihre Systemgleichungen im Frequenzbereich rationale Polynome sind. Deshalb kann man auch die Übertragungsfunktion Z im Frequenzbereich sehr einfach ausrechnen, indem man die Fourier-transformierte des Ausgangssignals durch die Fourier-transformierte des Eingangs teilt:
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		+	https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2qg.png
		+
		+	Für unseren Einmassenschwinger sieht das Ganze dann so aus:
		+
		+
		+	https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2qf.png
		+
		+	Man sieht also wiederum eine rationale Funktion, die in Abhängigkeit von der Frequnez ω und der Parameter k,d und m unser System beschreibt. Man kann die Übertragungsfunktion aber genau so auch messen, indem man die Anregunskraft und die Bewegung misst und dann beide Signale mit einer FFT in den Frequenzbereich transformiert und die Transformierte Bewegung durch die Transformierte Kraft teilt. Die empirische Übertragungsfunktion https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2se.png ist dann:
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		+
		+	https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/j2pi.png